Eloğlu zog im Alter von vier Jahren von Istanbul nach Köln. Der Name „Şiir“ leitet sich von ihrem Vater, Metin Eloğlu (1927–1985), einem Maler und Liedtexter, ab, der in den 1960er- und 1970er-Jahren bedeutende Literaturpreise erhielt. Nach ihrem Abitur in Köln studierte Eloğlu vier Jahre an der Hochschule für Musik Saar in Saarbrücken. Ihre ersten Engagements führten sie anschließend an Theater in Erlangen, Oberhausen und Köln. 1991 gab sie ihr Filmdebüt bei Kinofilm, „Happy Birthday, Türke!“, unter der Regie von Doris Dörrie, und spielte in ihrer ersten Szene an der Seite von Ulrike Folkerts. Einem breiteren Publikum wurde Eloğlu zwischen 1993 und 1996 durch ihre Rolle als junge Assistenzärztin Dr. Nesrin Ergün in der RTL-Serie „Stadtklinik“ bekannt. Ende 1997 zog sie nach Berlin. Sie wirkte in Fernseh- und Kinoproduktionen sowie Theaterengagements mit, unter anderem am Düsseldorfer Schauspielhaus, wo sie in „Antigone“ und „Sieben gegen Theben“ spielte. Ihre erste internationale Filmproduktion war der Schweizer Film „180° – Wenn deine Welt plötzlich Kopf steht“, der von Regisseur Cihan Inan in Zürich gedreht wurde. Zur internationalen Besetzung gehörten Sophie Rois, Christopher Buchholz, Sabine Timoteo und Michael Neuenschwander. Der Film lief auf Festivals in Antalya, Saarbrücken, Sudbury und Marrakesch sowie im spanischen Ourense, wo er mit dem Preis für das beste Drehbuch ausgezeichnet wurde. Sie spielte die Rolle der Leyla Yılmaz in „Almanya – Willkommen in Deutschland“ unter der Regie von Yasemin Şamdereli. Der Film wurde mit dem Deutschen Filmpreis prämiert. Von 2014 bis 2015 verkörperte sie die Architektin Suna Kaya in der Seifenoper „Lindenstraße“.